0 引言

冰川面积随高程分布规律是冰川学研究的重要内容，对冰川地理分布与规模、冰川发育特征、冰川水文研究等都有重要意义［1－4］.

一些学者提出了不同的经验公式来描述冰川面积随高程变化.В.А.库兹明乔纳克根据内天山两次航空测量结果，得出单条冰川面积随高程分布的经验公式［5］:

式中:Sj为落入j高度区间的冰川面积(km2);ai为多项式系数;zj为以π表示的高度区间j的下界高度;Z的范围为 Z∈(0，π);S为冰川总面积(km2).多值系数 ai为:a1=0.5，a2=0.04828，a3=－0.162+0.20088e－0.06645S，a4=0.05792－0.0672e－0.09175S，a5=0.21325－ 0.2125e－0.00484S.此公式曾推广用于整个天山、西藏南部外流域和恒河－雅鲁藏布江水系，在计算大冰川(＞5 km2)时面积误差较大.

王欣等［6］从统计学角度，假设冰川系统的面积随高程分布的概率服从泊松分布:

式中:j为冰川系统中从冰川分布的最低高程到最高高程划分的高程带的序号，j=1，2，…，n;Pλ(j)为第j带的面积概率;λ为高度带内面积的数学期望值，用各带冰川面积的算术平均值代替，λ愈大时Pλ(j)概率值的对称性愈明显，当λ→∞时，Pλ(j)收敛于正态分布;e为常数.与普遍使用的经验公式相比，该公式具有计算所需参数少.该公式在内天山实测资料验证表明，计算结果与实测值的差异程度较小.亦有研究者认为，在中、低纬度山地冰川作用区，冰川面积随高程的分布一般接近正态分布规律［7－10］.

冰川变化是气候变化的产物，气候变化引起冰川积累量和消融量的变化导致雪线和冰川高度升降、运动速度高低等一系列复杂的变化过程，最终使冰川面积增减、末端前进或退缩［11］.冰川面积随高度分布的特征值是计算冰川面积和体积及冰川末端变化的重要参数;同时，在计算冰川融水径流大小、不同高程带融水强度、径流峰值时间和物质平衡等也是不可缺少的［12］.在目前全球气温变暖的情况下，冰川加速消融将导致冰川面积结构发生变化［13－17］.已有研究结果表明，不同规模冰川对气候变化的敏感性有较大差异，小型冰川对气候变化相对敏感［18－22］，所以不同规模冰川的面积变化速率也会有所差异.现有的经验公式一般从单条冰川物质的变化来估算未来冰川规模的结构［22－25］，而单条冰川面积随高程的分布规律较为复杂，空间差异较大，无统一的数学表达式，对分析冰川区域性分布差异和评估未来区域冰川的结构变化带来困难.目前，遥感技术的发展给精确分析冰川面积分布规律提供了有力帮助［26－27］.ArcGIS平台对适宜精度的数字高程模型和冰川矢量数据进行处理，可以得出任一高程区间冰川面积的大小，从而进一步得出冰川面积随高程的总体分布.通过对两期冰川影像数据的分析，也可以得出此阶段冰川面积分布的差异性.

依据《中国冰川目录》11卷21册的统计，中国共发育有冰川46298条，总面积为59406 km2，冰储量为5590 km3［28］.中国冰川类型多，分布广泛，空间差异大，受不同地形和气候条件的影响，加上有限的单条冰川观测影响［29］，难以从整体上分析冰川面积随高程的规律.所以，本文主要研究在全国尺度上，不同区域冰川的面积随高程的变化规律和探求适宜的数学表达方法.

1 数据与方法

1.1 数据与预处理

本文使用的数据包括中国第一次冰川编目数据集和中国区90m分辨率数字高程模型(SRTMDEM).中国第一次冰川编目数据集来源于国家自然科学基金委员会“中国西部环境与生态科学数据中心“(http://westdc.westgis.ac.cn)［30］;中国区数字高程模型数据来源于中国科学院计算机网络信息中心国际科学数据镜像网站(http://datamirror.csdb.cn).

根据中国第一次冰川编目数据集(下文简称冰川目录)说明文档，中国冰川分布图投影方式为Albers正轴等面积双标准纬线圆锥投影，南标准纬线为25°N，北标准纬线为 47°N，中央经线为105°E.下载的 DEM 数据投影方式为 UTM/WGS84，经过投影变换，与冰川目录保持一致.

对比冰川目录与DEM数据，发现部分冰川由DEM所勾取流域边界与冰川边界存在一定偏差，需要选取特征点，进行几何校正.校正过程中同时参考冰川目录中提供的冰川高程值、面积及坐标，尽量减少面积变形.

中国冰川分布广泛，类型多样，概括起来:1)海洋性冰川，主要分布在西藏东南部和横断山区，约占中国冰川总面积的22%;2)亚大陆性冰川，主要分布在阿尔泰山、天山、祁连山中东段、东昆仑山、喜马拉雅山中西段北坡及喀喇昆仑山北坡，约占46%;3)极大陆型冰川，主要分布在中、西昆仑山、羌塘高原、帕米尔高原东部、唐古拉山西部、祁连山西段，约占32%［5］.《中国冰川目录》共分五级流域，依据其提供的流域分级编码，主要以一级和二级流域为主，将中国境内冰川划分为27个研究区域.考虑到部分一级或二级流域跨度范围较大，受不同地形、气候条件的影响，且流域冰川影像年代存在差异，将其按照下一级流域编码进行细划分.进而，划分的每个区域的冰川总体可视为一个冰川系统，如图1.研究区共有冰川45453条，总面积为58921 km2，其基本信息如表1.

冰川目录包括冰川最高海拔、平均海拔、最低海拔，冰舌末端最低海拔和积累区最低海拔高程等信息.同时，基于DEM亦可识别出各研究区域单条冰川的最高高程和最低高程.基于冰川目录和基于DEM识别的单条冰川算术平均高程、最高高程、最低高程的线性相关在0.5以上，平均误差在100 m以下(青藏高原区域在150 m左右).

1.2 分析方法

使用ArcGIS中的Zonal Statistic功能对DEM生成的冰川高程与冰川目录高程进行统计比较，使用Surface Volume功能对研究区每100 m高差进行分段面积统计，从而得出研究区域冰川系统面积随高程的分布.

虽然一些研究结果表明，冰川面积随高程呈近似正态分布，但正态分布是理想分布，一般冰川面积随高程呈偏态分布.王欣等［6］提出的泊松分布可以描述冰川系统的单侧偏态性，而无法描述两侧偏态性，且样本数据越大其分布愈接近正态分布.

本文进一步提出采用二阶高斯函数描述冰川系统面积随高程的分布:

式中:i为冰川标准高程，为实际高程(h)/10000;S(i)为冰川在高程h处对应的面积百分比;a1、b1、c1、a2、b2和c2为系数.

结合表1的分区，利用冰川－高程分布数据，对上述方法进行评价;同时采用正态分布对每个区域进行拟合，作对比研究.

2 结果与讨论

2.1 冰川面积随高程分布

采用式(3)对分段冰川面积随高程分布进行拟合，拟合参数如表2.从表中可以看出，拟合决定系数R2均在0.97以上，而且RMSE均较小，表明二阶高斯函数可以很好地描述各研究区冰川系统面积随高程的分布，分布如图2.

采用二阶高斯函数拟合得出的冰川系统面积大小与DEM分段统计结果有一定的误差.由于冰川面积随高程呈近似正态分布，所以在最大面积附近的中心区域相对误差较小，而在两侧相对误差较大，所以该函数研究冰川系统在相对低海拔区和高海拔区的小冰川时相对误差较大，但其绝对误差较小.经分析，各研究区域(8号区域除外)当冰川面积百分比大于1%时，其面积相对误差小于15%.

在一些研究区域，正态分布也可以描述冰川系统面积随高程的分布，如恒河流域(4号区域)、多雄藏布(7号区域)、开都河等流域(21号区域)、扎日南木错(25号区域)、多格错仁湖和依布茶卡湖(27号区域)等.但是正态分布在一些偏态明显的区域无法有效地对相对低海拔区和高海拔区的面积分布进行描述.如萨尔温江等流域(3号区域)、康布麻曲等(5号区域)、米兰－车臣河(14号区域)、喀拉米兰河－克里雅河内流区(15号区域)、和田河内流区(16号区域)、班公湖(26号区域)等在低海拔区会出现较大的误差，伊犁河流域(11号区域)、阿克苏河等流域(19号区域)、渭干河等流域(20号区域)、阿雅格库木库里湖和可可西里湖(23号区域)在高海拔区会出现较大的误差.正态分布也可能会在计算最大面积分布高度出现偏差，如阿尔泰山(1号区域)、河西内陆水系(12号区域)、和田河内流区(16号区域)、叶尔羌河流域(17号区域)、准噶尔内陆水系(22号区域)等.

世界冰川编目统一规范冰川面积等级以2为底的指数进行划分.本文将单条冰川面积分别小于0.5 km2、1 km2、2 km2、4 km2、8 km2、16 km2划分为6个等级，分别统计各面积等级以下冰川面积随高程的分布.结果表明，除喀什噶尔河流域(面积等级＜8 km2)、拉萨河和班公湖以外，各等级面积随高程的分布都可以用二阶高斯函数进行表示.这表明一个冰川系统内，不同面积等级的冰川分布与冰川系统分布总体保持相同的规律特性.

经验公式(1)曾应用到恒河流域冰川面积随高程的分布研究.采用二阶高斯函数与经验公式结果进行对比，结果如图3.经验公式(1)得出的冰川面积随高程近似正态分布，二者的最大面积及对应高度相近，而二阶高斯函数结果在高程较大时(6000～8000 m)表现出偏态性.二者在最大面积分布高度以下高程时面积十分接近，相对误差小于10%.

2.2 冰川高度特征值

利用二阶高斯分布模型，可以计算出冰川高度特征值，如最大面积分布高度Hmaxs及对应的最大面积百分比Amaxs，平均高度Hme和中值高度Hmed，如表3.中值高度Hmed是将冰川面积自上而下二等分的等高线高度，一般中值高度要略高于冰川平均高度.从表中可以看出，各研究区 Hmaxs、Hme和Hmed较为接近，其中，海拔5000 m以上占绝大多数，主要分布在青藏高原及周边;其中，海拔较低的为阿尔泰山(1号区域)，伊犁河流域(11号区域)，开都河等流域(21号区域)，准噶尔内陆水系(22号区域)等.在大部分研究区域，冰川中值高度都大于平均高度;冰川中值高度小于平均高度的基本上分布在青藏高原及周边少部分区域，且二者差值较小.当冰川中值高度与冰川平均高度相差较大时(＞100 m)，冰川最大面积分布高度更接近于冰川中值高度.

冰川系统最大高度附近(300 m)的冰川面积集中率可以用HSR表示，当冰川作用差ΔH较大时，HSR较小，冰川表现的惯性越大，稳定程度越高，反之亦然［5］.HSR可以分为 3种类型:A型为＜30%;B型为30% ～50%;C型为＞50%.根据HSR划分类型，整个研究区域以B型冰川为主，A型冰川次之，C型冰川最少.全国冰川面积集中率较高的区域主要是在青藏高原，而向周边有减小的趋势.27个研究区域冰川分布存在左偏和右偏的情况，部分接近于正态分布.为了更好地表征其偏态情况，这里采用(L/R)表示:L为冰川面积百分比分别为2%和4%时对应的较大高程与Hmaxs之差的平均值;R为冰川面积百分比分别为2%和4%时对应的较小高程与Hmaxs之差的绝对值的平均值.当L/R小于1时，面积随高程的分布偏向低处高程;当L/R大于1时，其分布偏向高处高程;当L/R较接近于1时，其分布接近于正态分布.L/R离1越远，说明其偏态性愈明显.从表3可以看出，偏态分布比较明显的阿尔泰山(1号区域)、叶尔羌河流域(17号区域)、渭干河等流域(20号区域)、准噶尔内陆水系(22号区域)和阿雅格库木库里湖和可可西里湖(23号区域)等区域面积随高程分布偏向高处高程，萨尔温江等流域(3号区域)、易贡藏布和察隅河(9号区域)、河西内陆水系(12号区域)、喀拉米兰河－克里雅河内流区(15号区域)、和田河内流区(16号区域)和班公湖(26号区域)等区域面积随高程分布偏向低处高程，其他区域接近正态分布.

从结果可以看出，当L/R大于1时，冰川中值高度大于最大面积分布高度;L/R小于1时，则反之，而最大面积分布高度与冰川平均高度无较大关联.这可能与冰川系统的偏态性有关.当冰川面积分布偏向较低高程时，最大面积分布高度会偏向较高高程，而中值高度会偏向较低高程，因而最大面积分布高度大于中值高度.当冰川面积分布偏向较高高程时，亦同理，最大面积分布高度小于中值高度.

2.3 冰川区域分布差异

二阶高斯分布偏态回归模型一方面可以表达冰川面积在平均高程的集中程度，另一方面表达了冰川在相对较低高程和相对较高高程处的差异.从整体上看，青藏高原冰川面积集中程度在内部区域较高，而向四周有减小的趋势，且在南部和东南部趋势更为明显;帕米尔和喀喇昆仑山处集中程度较低;天山山脉差异较大.在偏态性方面上，青藏高原大部分区域L/R都接近于1，L/R存在向周围减小的趋势，在东南部区域其值更小，在其西方的印度河流域和叶尔羌河流域L/R则较大;天山山脉和阿尔泰山L/R总体都大于1.

冰川是受地形和气候等条件影响下形成的，所以，冰川面积分布在不同区域形态上有所差异.中国冰川近期大多以退缩为主，退缩速率在不同区域表现不同［21，31－32］，但在一些地区也出现了微弱物质增长，如喀喇昆仑山地区［33］.冰川系统结构会一定程度上影响冰川物质变化强弱.冰川分布的偏态性呈现了冰川目前的存在形态，也能体现出未来变化的倾向性.而在外界环境变化条件下，冰川自然形成的面积随高程的分布会影响冰川的物质平衡变化的速率.在冰川面积随高程的分布偏向低处高程时，说明其在平均高程以下存在较多的冰川.若不考虑其他条件的影响，在同等升温条件下，由于冰川的消融是自下而上的过程且一般小冰川较为敏感，冰川融水会随时间增强至最大，且面积较集中的区域消融更为剧烈，冰川面积分布可能逐渐趋于正态分布，而后融水减少，分布偏向高处高程;当冰川分布偏向高处高程时，则表明冰川融水已经处于较高的水平，物质亏损较为剧烈.反之，若冰川处于增长阶段，在偏向高处高程时更有利于冰川的积累.青藏高原中部区域偏态性不明显，面积都分布在平均高程上下，处于较稳定的形态，这也与其自身地理位置有关.而东南部的冰川属于海洋性冰川，受海洋性季风的影响，冰川累积和消融速度快，其面积形态偏向低处高程，而集中程度相比内部要低，预计未来在升温条件下仍将持续亏损.中国天山和阿尔泰山冰川形态基本上都偏向高处高程，说明其消融量已处于高水平阶段;发源于喀喇昆仑山叶尔羌河流域冰川分布偏向较高高程，且面积集中率不高，在一定程度上有利于冰川的积累.

以上研究都是基于中国第一次冰川编目数据集，冰川目录在不同研究区域所采用影像的年代有所差异，但是同一处冰川系统记录的年份相对集中，对整体冰川系统面积分布的研究影响较小.本文所采用的数学表达式对此冰川目录面积分布拟合有较好的效果，但是最近50a中国冰川大部分都消融剧烈，面积结构会发生一定变化，该表达式需对最近的冰川面积分状况进行拟合，分析表达式参数和冰川系统高程结构参数的变化，验证该方法的合理性，从而进一步分析气候变化条件下冰川分布的区域差异.

3 结论

根据《中国冰川目录》将冰川划分了27个冰川系统研究区域，使用中国区数字高程模型分段统计了每100 m高度带面积随高程的分布，并建立了各研究区域面积随高程分布的二阶高斯分布偏态回归模型，并统计出冰川系统结构特征值.

在使用二阶高斯分布偏态回归模型描述冰川面积随高程的分布情况时，相对误差在最大面积附近的中心区域相对较小.部分研究区域两侧相对误差较大，但绝对误差较小.在一些研究区域正态分布也可以很好地描述冰川面积分布，但是对一些偏态明显的区域在低海拔区和高海拔区可能会出现较大偏差.

统计和分析了冰川结构特征值.根据HSR划分类型，中国冰川以B型为主.采用L/R描述偏态性，当L/R大于1时形态偏向高处高程，小于1时偏向低处高程.大部分研究区域都接近正态分布，少数区域偏态明显.若不考虑其他条件的影响，在同等升温条件下，分冰川布在偏向低处高程时，冰川融水会随时间增强至最大，且面积较集中的区域消融更为剧烈，冰川面积分布可能逐渐趋于正态分布，而后分布偏向高处高程;当冰川分布偏向高处高程时，冰川融水已经处于较高的水平，物质亏损会较为剧烈.反之，若冰川处于增长阶段，在偏向高处高程时更有利于冰川的积累.

二阶高斯分布偏态模回归型可以有效地描述研究区域冰川系统面积随高程的分布，可以为全球气候变化条件下冰川动态的变化提供参考依据.未来利用即将发布的最新中国冰川编目数据，评估本文提出的冰川面积随高程分布函数并讨论其参数的稳定性，对于进一步论证本文所提出的方法的可应用性有重要价值.

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